Wang Haihua
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下面介绍一种重要的平稳时间序列—ARMA时间序列。ARMA时间序列分为三种类型： （1）AR模型，即自回归序列（Auto Regressive Model）； （2）MA序列，即移动平均序列（Moving Average Model）； （3）ARMA序列，即自回归移动平均序列（Auto Regressive Moving Average Model）。
设 $\left\{X_{t}, t=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$ 是零均值平稳序列, 满足下列模型 $X_{t}=\phi_{1} X_{t-1}+\phi_{2} X_{t-2}+\cdots+\phi_{p} X_{t-p}+\varepsilon_{t}$, 其中 $\varepsilon_{t}$ 是零均值、方差是 $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ 的平稳白噪声。则称 $X_{t}$ 是阶数为 $p$ 的自回归序列, 简记为 $\operatorname{AR}(p)$ 序列, 而 $\phi=\left[\phi_{1}, \phi_{2}, \cdots, \phi_{p}\right]^{T}$ 称为自回归参数向量, 其分量 $\phi_{j}, j=1,2, \cdots, p$ 称为自回归系数。
引进后移算子对描述式 (18.16) 比较方便。算子 $B$ 定义如下 $$ B X_{t} \equiv X_{t-1}, \quad B^{k} X_{t} \equiv X_{t-k} . $$ 记算子多项式 $$ \phi(B)=1-\phi_{1} B-\phi_{2} B^{2}-\cdots-\phi_{p} B^{p}, $$ 则式（18.16）可以改写为 $\phi(B) X_{t}=\varepsilon_{t}$ 。
设 $\left\{X_{t}, t=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$ 是零均值平稳序列, 满足下列模型 $$ X_{t}=\varepsilon_{t}-\theta_{1} \varepsilon_{t-1}-\theta_{2} \varepsilon_{t-2}-\cdots-\theta_{q} \varepsilon_{t-q}, $$ 其中 $\varepsilon_{t}$ 是零均值、方差是 $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ 的平稳白噪声, 则称 $X_{t}$, 是阶数为 $q$ 的移动平均序 列, 简记为 $\mathrm{MA}(q)$ 序列, 而 $\theta=\left[\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{q}\right]^{T}$ 称为移动平均参数向量, 其分量 $\theta_{j}, j=1,2, \cdots, q$ 称为移动平均系数。
在工程上,一个平稳白噪声发生器通过一个线性系统, 如果其输出是白 噪声的线性叠加, 那么这一输出服从 MA 模型。 对于线性后移算子 $B$, 有 $B \varepsilon_{t} \equiv \varepsilon_{t-1}, B^{k} \varepsilon_{t} \equiv \varepsilon_{t-k}$, 再引进算子多项式 $$ \theta(B)=1-\theta_{1} B-\theta_{2} B^{2}-\cdots-\theta_{q} B^{q}, $$ 则式 (18.18) 可以改写为 $X_{t}=\theta(B) \varepsilon_{t}$ 。
应用算子多项式 $\phi(B), \theta(B)$, 式 (18.19) 可以写为 $\phi(B) X_{t}=\theta(B) \varepsilon_{t}$ 。 对于一般的平稳序列 $\left\{X_{t}, t=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$, 设其均值 $E\left(X_{t}\right)=\mu$, 满足下 列模型 $$ \left(X_{t}-\mu\right)-\phi_{1}\left(X_{t-1}-\mu\right)-\cdots-\phi_{p}\left(X_{t-p}-\mu\right)=\varepsilon_{t}-\theta_{1} \varepsilon_{t-1}-\cdots-\theta_{q} \varepsilon_{t-q} \text {, } $$ (18.20) 其中 $\varepsilon_{t}$ 是零均值、方差是 $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ 的平稳白噪声, 利用后移算子 $\phi(B), \theta(B)$, 式 (18.20) 可表为 $$ \phi(B)\left(X_{t}-\mu\right)=\theta(B) \varepsilon_{t} . $$
关于算子多项式 $\phi(B), \theta(B)$, 通常还要作下列假定： (1) $\phi(B)$ 和 $\theta(B)$ 无公共因子, 又 $\phi_{p} \neq 0, \theta_{q} \neq 0$; (2) $\phi(B)=0$ 的根全在单位圆外，这一条件称为模型的平稳性条件; (3) $\theta(B)=0$ 的根全在单位圆外，这一条件称为模型的可逆性条件。